دنیای دانش و تکنولوژی زنبور( Bee tech)

جریان موجود در دیفرانسیل ds برابر با $$\mathrm{I\; x}{ds}^{}$$ است. مطابق با شکل ۱ فرض کنید می‌خواهیم میدان مغناطیسی ناشی از سیم مفروض را در نقطه P بدست آوریم. از این رو در ابتدا بردار r
 را در نظر بگیرید که ابتدای آن در ds و انتهای آن در نقطه P قرار دارد. قانون «بیو-ساوار» (‌Biot-Savart) دیفرانسیل بردار میدان مغناطیسی را با استفاده از رابطه زیر توصیف می‌کند.

$${\mu }_0$$، تراوایی خلا را نشان می‌دهد و مقدار آن برابر است با:

رابطه ارائه شده توسط بیو-ساوار بسیار مشابه با رابطه‌ای است که میدان الکتریکی ناشی از دیفرانسیل بار را نشان می‌دهد. منظور ما رابطه زیر است.

با انتگرال‌گیری از رابطه ۱، میدان ناشی از سیم حاوی جریان I برابر می‌شود با:

عبارت بالا رابطه‌ای برداری انتگرالی است. از این رو می‌توان گفت که عبارت مذکور ۳ رابطه را نشان می‌دهد [راستای x,y,z].

مثال ۱: میدان ناشی از سیم

مطابق با شکل زیر سیمی را تصور کنید که جریان I در آن جابجا می‌شود.

میدان مغناطیسی حاصل از سیم مفروض در نقطه P چقدر است؟

جهت محاسبه میدان مغناطیسی به ترتیب زیر عمل می‌کنیم.

در قدم اول دیفرانسیل سیم را به صورت $${ds}^{}=d{x}^{\prime }\hat{i}$$ در نظر می‌گیریم؛ بدیهی است که جریان موجود در این دیفرانسیل برابر با I است. با توجه به شکل ۱ مکان این دیفرانسیل برابر است با:

مطابق با شکل ۱ مختصات نقطه P برابر با (x,y)=(0,a) است؛ بنابراین بردار توصیف کننده نقطه P به شکل زیر است.

از طرفی بردار $$r^{}={r_p}^{}-{r^{\prime }}^{}$$نشان دهنده موقعیت نقطه P نسبت به دیفرانسیل سیم است. از این رو بردار r را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

بنابراین اندازه این بردار برابر است با:

جهت انتگرال‌گیری از رابطه ۱ بهتر است تا عبارت زیر انتگرال را بر حسب بردار یکه$$\hat{r}$$ نشان داد. بردار یکه $$\hat{r}$$ را می‌توان با تقسیم بردار r به اندازه آن بدست آورد. در نتیجه داریم:

با بیان کردن دو بردار ds و r، حاصلضرب خارجی آن‌ها را نیز می‌توان مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

با استفاده از ضرب خارجی بدست آمده در بالا، رابطه ۱ برابر است با:

رابطه بالا نشان می‌دهد که میدان بدست آمده در جهت بیرون صفحه است ($$\hat{k}$$). در قدم بعدی متغیر‌ها را بایستی در مختصاتی بیان کرد که انتگرال‌گیری ساده باشد. از این رو مطابق با دو رابطه زیر r و x را بر حسب $$\theta$$ بیان می‌کنیم:

با تغیر متغیر ارائه شده در بالا، رابطه ۱ به شکل زیر قابل بازنویسی می‌شود.

با انتگرال‌گیری از رابطه بالا در بازه $$-{\theta }_1$$ تا $${\theta }_2$$، میدان مغناطیسی برابر با رابطه زیر بدست می‌آید.

حالتی را تصور کنید که در آن $$-{\theta }_1={\theta }_2$$ باشد. با فرض این‌که طول میله برابر با 2L باشد، می‌توان گفت:

با جایگذاری عبارت بالا در رابطه ۲، داریم:

در حالتی که طول L را به بینهایت میل دهیم، میدان الکتریکی در فاصله a از میله برابر می‌شود با:

با توجه به رابطه بالا، میدان الکتریکی در اطراف یک سیم حامل جریان به صورت زیر خواهد بود.

در حقیقت جهت میدان مغناطیسی در اطراف یک سیم را می‌توان با استفاده از قانون دست راست بدست آورد. میدان ناشی از جریانی که به بیرون صفحه جریان دارد، در شکل زیر نشان داده شده است.

برای تعیین میدان مغناطیسی اطراف یک سیم مطابق با شکل زیر انگشست شست خود را در جهت جریان قرار دهید. در این حالت جهت انگشتان بسته شما، جهت میدان مغناطیسی را نشان می‌دهد.

مثال ۲: میدان ناشی از حلقه حاوی جریان

مطابق با شکل زیر حلقه‌ای به شعاع R را در نظر بگیرید که در صفحه x-y قرار گرفته و جریان I در آن حرکت می‌کند.

فیلم آموزش فیزیک عمومی ۲ – حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

با این فرض موارد زیر مطلوب است:

1. میدان مغناطیسی در نقطه P در فاصله z از مرکز حلقه را بیابید.
2. اگر یک دو قطبی مغناطیسی به اندازه $$\overrightarrow{\mu }={\overrightarrow{\mu }}_z\hat{k}$$ را در میدان ناشی از سیم قرار دهیم، اندازه نیروی وارد شده به آن را بیابید؟

محاسبه میدان در نقطه P

همانند مثال ۱ در این مسئله نیز در ابتدا بایستی کمیت موجود در انتگرال را به‌صورت برداری تعریف کرد؛ از این رو جریان دیفرانسیلی از سیم که در $$\overrightarrow{r^{\prime }}=R\left[Cos\right({\varphi }^{\prime })\hat{i}+sin({\varphi }^{\prime }\left)\hat{j}\right]$$ قرار گرفته، برابر است با:

در قدم بعدی بایستی موقعیت نقطه P را نیز به صورت برداری و به شکل زیر بیان کنیم:

با توجه به دو بردار بدست آمده در مراحل قبل، بردار موقعیت نسبی برابر است با:

همان‌طور که قبلا نیز بیان شد، به‌منظور بدست آوردن بردار یکه r بایستی اندازه آن محاسبه شود. اندازه بردار r برابر با مقدار زیر است.

مقدار بالا فاصله بین دیفرانسیل جریان و نقطه P را نشان می‌دهد. در نتیجه بردار یکه r برابر است با:

در قدم بعدی بایستی حاصلضرب خارجی بردار موقعیت نسبی (r) و جهت دیفرانسیل جریان را بدست آوریم. این عبارت مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

با قرار دادن ضرب خارجی بالا در رابطه بیو-ساوار داریم:

در نتیجه میدان B برابر است با:

می‌توان به شکل زیر نشان داد که مولفه x و y میدان برابر با صفر هستند. البته با استفاده از تقارن نیز این نتیجه قابل دست‌یابی است.

احتمالا متوجه شده‌اید که فقط مولفه z میدانِ بوجود آمده غیرصفر است که مقدار آن برابر است با:

با توجه به رابطه بدست آمده، میدان در z=0 - یا مرکز حلقه - برابر با $$B_0=\frac{{\mu }_{o}I}{2R}$$ است. نمودار مربوط به میدان بدست آمده برابر است با:

با توجه به شکل بالا و هم‌چنین رابطه بدست آمده برای میدان، می‌توان گفت که اندازه آن در مرکز حلقه ماکزیمم و در فواصل بسیار دور، میدان مغناطیسی برابر با صفر است.

نیروی وارد به دوقطبی

اگر یک دوقطبی مغناطیسی برابر با $$\mu ={\mu }_z\hat{k}$$ در نقطه P قرار گیرد، با توجه به مطلب مقدمه‌ میدان مغناطیسی، نیروی وارد به دوقطبی مفروض برابر است با:

در نتیجه با مشتق‌گیری و جایگذاری میدان بدست آمده در رابطه بالا، نیروی F_B برابر می‌شود با:

میدان مغناطیسی ناشی از بار متحرک

فرض کنید که در بخشی از یک سیم استوانه‌ای به طول ds و سطح مقطع A، بارهای الکتریکی با نرخ n در واحد حجم در آن جریان دارند. اگر I را برابر با نرخ بار‌های عبوری در واحد زمان در نظر بگیریم، با توجه به مطلب جریان و مقاومت الکتریکی می‌توان گفت:

با توجه به پارامتر‌های تعریف شده، کل بار عبوری در سیم برابر با dN=nAds است. در نتیجه با استفاده از قانون بیو-ساوار میدان دیفرانسیلی ناشی از حرکت dN بار الکتریکی در این سیم، برابر است با:

در رابطه بالا r نشان دهنده فاصله بین بارهای الکتریکی و نقطه P است. توجه داشته باشید که $$\overrightarrow{ds}$$ در جهت حرکت جریان و سوی $$\hat{r}=\overrightarrow{r}/r$$، از سمت بار به نقطه‌ای است که می‌خواهیم میدان الکتریکی را در آن محاسبه کنیم. برای نمونه در حالتی که dN=1 باشد، رابطه بالا به شکل زیر در می‌آید.

توجه داشته باشید که با توجه به نسبیت انیشتین رابطه بالا در حالاتی صادق است که سرعت حرکت ذره بسیار بسیار کمتر از سرعت نور باشد (v<<c).

نیروی بین دو سیم حامل جریان

در بالا توضیح دادیم که چگونه یک سیم حامل جریان در اطراف خود میدانی مغناطیسی ایجاد می‌کند. در مطلب مقدمه میدان مغناطیسی نیز عنوان شد که اگر باری در یک میدان الکتریکی حرکت کند، نیرویی مغناطیسی به آن وارد خواهد شد؛ از این بیان نتیجه می‌شود که به سیم حامل جریان قرار گرفته در میدان مغناطیسی نیز نیرویی وارد خواهد شد. در این قسمت قصد داریم تا نیرو را بدست آورده و در مورد آن بحث کنیم.